Considerações finais

Quanto foi enriquecedor o trabalho nas palavras do nosso colega André Pereira:

"Eu toco violão e vejo que grande importância tem estas vibrações,e cada som que a nota musical emite, o Pitágoras nos mostra esta diferença quando divide a corda ao meio encontra uma oitava acima. isto é incrível."

A música, nossa fala ou mesmo batimentos do nosso coração... percebemos como algo que nunca imaginamos esteja interligando tudo isso, por um simples desenho de uma onda, que você pode obter através de um função trigonométrica. Como vimos no vídeo do Pato Donald, a matemática acaba sendo um alfabeto onde Deus e até mesmo o homem pode moldar a natureza.

Assim, nessa pesquisa podemos levar mais adiante o entendimento sobre trigonometria. Se fosse apenas na teoria, perderia-se muito sentido das horas que você fica estudando. Pois cria-se indagações como: Para que isso serve? Vale pena tempo desprendido nisso? Ao final desse trabalho, percebemos que nada foi perdido, ao contrário o assunto ganha maior  importância e ao mesmo tempo fica mais fixo em nossa memória.

O trabalho revelou ser sim algo muito coerente, ligou um tema quase que misterioso para revelar todo um mecanismo do qual amamos tanto que é a música. E ainda podemos perceber uma gama maior de outras possibilidades em que está ligado o tema: função trigonométrica.

Talvez faltou um pouco de clareza e entendimento nos conceitos propostos a princípio. Mas percebemos que isso aconteceu por uma certa inexperiência ao ser nosso primeiro trabalho. Não diminuiu interesse, ao contrário contribuiu para grupo se unir e admitir algumas dificuldades. E por fim, cada um trouxe uma parte si para podermos ter uma compreensão maior e melhor sobre assunto.

E nós temos a certeza de que tudo que foi aprendido aqui terá um valor novamente seja numa futura turma de aula como professor ou mesmo quando ouvir uma simples canção.

A interação entre Acústica, Sons Musicais, Funções Trigonométricas e software GeoGebra

Se quisermos ouvir o som de uma corda, para criar uma nota nota musical deveremos pinçá-la para que esta saia de sua posição de equilíbrio e realize movimentos vibratórios, em um certo intervalo de tempo.

Vamos, agora, utilizar GeoGebra para colocar analiticamente o que foi falado acima.

A amplitude do deslocamento desta corda ao ser pinçada é comparável ao da ordenada, como de um ponto B ao percorrer uma circunferência no sentido anti-horário.

A parte mais alta do gráfico é denominada crista e a parte mais baixa de vale. A variável da onda que altera as cristas e vales é chamada de amplitude (A). A sua medida no sistema internacional é em metros (m). A distância entre duas cristas é denominada de comprimento de onda (λ) e equivale a uma volta completa no ciclo trigonométrico, sendo assim o período.

Na trigonometria a onda sonora é definida por uma função senóide do tipo: y = Asen (Bx + C) + D, onde A é a amplitude da onda, responsável pela Intensidade sonora e B é a frequência de onda, calculado por B=2π/λ e responsável pela variação na altura do som. Isso foi perceptível, graças, a discussão feita na "Reunião do Grupo", onde comentamos sobre as principais funções: Seno, Cosseno e Tangente.

No entanto, a função que buscamos deve representar uma relação entre o deslocamento e o tempo. Desse modo, se um ponto B percorrer uma circunferência f vezes em um segundo, teremos que a função : y = Asen (Bx + C) + D, poderá ser representada por:

y=sen2πt/λ ou y=sen2πft

Observa-se o movimento dos gráficos a partir das alterações de cada parâmetro da função. Na música, então, essa variação produz mais do que uma alteração gráfica e visual; alteração de intensidade e altura das notas musicais.

Assim, as ondas sonoras são representadas graficamente em duas dimensões: o tempo (eixo horizontal, x) e amplitude instantânea (eixo vertical, y).

Ondas periódicas são as que repetem um padrão fixo ao longo do tempo. A extensão temporal do padrão é chamada período da onda.

Se uma onda se repete duas vezes a cada segundo, sua freqüência é igual a 2 Hertz, e seu período é igual a 1/2 s (ou 500 ms).

Ondas senoidais

O movimento oscilatório mais simples é o da onda senoidal, representada matematicamente pela função seno. Uma onda periódica possui três características essenciais: freqüência (inverso do período), amplitude e fase.

Sons complexos

Sons complexos são constituídos pela sobreposição (somatório) de ondas senoidais. Eles são compostos por vários sons simples e a sua frequência varia ao longo do tempo de forma periódica ou não periódica. A fala Humana inclui-se nos sons complexos

Na figura abaixo, uma onda complexa (em azul) é resultante da combinação das ondas A (em vermelho) e B (em verde).

Exemplo:

A mesma nota musical “lá” produzida por um piano ou por um violino causa sensações diferentes, o que permite identificar o instrumento que a produziu. Mas não é a mesma nota tocada nos dois instrumentos? Sim, a frequência do 1º harmónico é a mesma. Acontece que cada instrumento tem o seu próprio timbre - que resulta da combinação de vários harmónicos.

Fenômeno Sonoro

Mas afinal o que é o fenômeno sonoro? Podemos especificar em duas abordagens diferentes que são relevantes ao nosso estudo. A ACÚSTICA FÍSICA que estuda a natureza do fenômeno sonoro, e a PSICOACÚSTICA que trata da percepção do som pelos nossos sentidos.

As duas disciplinas estão dentro do estudo da Ondulatória. Uma parte da Física que estuda os fenômenos que se apresentam em formas de ondas. Existem dois tipos básicos de fenômenos que se comportam dessa maneira: ondas mecânicas, que atuam no nível das moléculas (ar, no caso do nosso estudo), cujo fato perceptivo associado é o som e as ondas eletromagnéticas, causadas pelo movimento de partículas subatômicas (fóton, por exemplo), cujos fatos perceptivos associados são, principalmente, a luz e as cores.

Vamos focar no fenômeno físico SOM e como ele é percebido pelo ser humano.

SOM - O som é a propagação de uma frente de compressão mecânica ou ONDA MECÂNICA; esta onda é longitudinal,  e se propaga de forma circuncêntrica (ou seja é tridimensional) apenas em meios materiais (sólidos, líquidos ou gases). Não é possível perceber o som, se não existir um meio material entre o corpo que vibra e o nosso ouvido. Todo som é gerado pela vibração de um corpo que exerce pressão em algum meio e propaga-se por esse meio em forma de ondas.

Introdução à Psicoacústica

A Psicoacústica é o estudo de como o ser humano percebe o fenômeno sonoro.

De forma mais comum, devido à propagação no ar, a maioria dos sons chega aos nossos ouvidos, onde há uma estrutura que recebe essas vibrações, interpreta-as e envia-as ao cérebro, gerando a nossa percepção do som.

Esquema representando a audição humana.

Nossos ouvidos são dotados de configurações anatômicas que permitem receber a informação e identificar a sua direção.

O entendimento do comportamento do som passa pelo estudo do comportamento das ondas e de como nosso organismo as recebe. As partículas presentes no meio, onde uma onda se propaga, não acompanham o movimento da onda, elas apenas vibram localmente e transmitem as vibrações às partículas vizinhas pelo contato. Pelas descrições, percebemos que a vibração é o fato característico que promove o som. Por VIBRAÇÃO entende-se o movimento de um ponto que oscila em torno de outro ponto ou linha de referência. A ciência pode hoje apontar certas características físicas de um som musical que o distingue de sons que são apenas ruídos. Neste ponto que trigonometria faz sua entrada ao ajudar trazer algo que parece apenas um ruído se torne algo melodioso e harmônico.

fonte

O software GeoGebra

Vamos entender as interações da música com a matemática usando recursos da trigonometria, no caso na parte de funções. Para isso vamos usar conceitos físicos sobre onda através do uso do software chamado Geogebra. Disponível em: http://www.geogebra.org/download

Ele permite o estudo em diversas disciplinas da matemática e, ainda, auxilia na compreensão das matérias dentro da Trigonometria, como: estudo de gráficos de funções trigonométricas, que serão essenciais para fazer a nossa viagem pelo trigonometria na música. Na figura abaixo, uma imagem da interface do software:

Para facilitar entendimento do uso do programa, um vídeo para entender como utilizar a ferramenta: 

Harmonia entre sons e números

A matemática é uma ciência fantástica, através dela, é possível explicar vários temas e provar muita coisa. Ela nos ajuda a entender o mundo a nossa volta, e para qualquer lugar que olharmos podemos encontrá-la, como nos cantos de um móvel, no troco do supermercado e até mesmo na música. Vamos entender um pouco mais sobre isso?

A importância da Matemática na Música está presente desde o conceito mais básico do que é "som musical" e do que é "ritmo". Os sons com os quais podemos criar nossas músicas constituem o que chamamos de "escala musical". 

Eles são definidos a partir de relações matemáticas muito precisas e, quando combinados de determinadas maneiras, podem produzir resultados agradáveis aos nossos ouvidos. Essas relações matemáticas, junto com as características intrínsecas das vibrações sonoras, são a base para a "harmonia" na superposição dos sons musicais. 

Por outro lado, a maneira como encadeamos os sons em nossas músicas também segue regras com fundamentos matemáticos. Todos os tipos de "ritmos" que podemos conceber musicalmente obedecem a algum tipo de divisão fracionária, cuja característica sempre está vinculada a um determinado gênero artístico ou a um tipo de cultura. 

Conhecer essas influências matemáticas é, antes de tudo, conhecer a essência da própria Música. 

Texto baseado na postagem: Música e Matemática - A relação harmoniosa entre sons e números

Sons e a Trigonometria - Apresentação

Disney apresentou diversos curtas falando sobre assuntos do nosso cotidiano. Afinal, quem nunca assistiu os desenhos onde Pateta fala sobre esportes ou segurança no trânsito? Mas um em especial não é da série do Pateta,  e sim do Pato Donald!

Nele vemos as aventuras do Pato num mundo da matemática, revelando como essa matéria se torna uma espécie de alfabeto que move o mundo, ou melhor universo. Numa parte do vídeo narra importância da matemática para como se torna a música algo melodiosa e harmônica.

E nessa parte é que começaremos a nossa viagem a importância da trigonometria nisso. Como essa matéria entra na criação dos sons da vida. Ou mesmo como pode moldá-la nas mais diversas formas para se criar fenômenos e eventos como simples som de uma brisa. Onde mais essa matéria pode ser encontrado no cotidiano? Essa uma pergunta que tentaremos lucidar em vários post a seguir.

Porém, antes de embarcar nessa viagem, assista o curta:

Depois viagem com gente nas diversas maravilhas que trigonometria trouxe para nossa vida. ;D